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【题目】设 = =(4sinx,cosx﹣sinx),f(x)=
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间 是增函数,求ω的取值范围;
(3)设集合A= ,B={x||f(x)﹣m|<2},若AB,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:f(x)=sin2 4sinx+(cosx+sinx)(cosx﹣sinx)

=4sinx +cos2x

=2sinx(1+sinx)+1﹣2sin2x=2sinx+1,

∴f(x)=2sinx+1.


(2)解:∵f(ωx)=2sinωx+1,ω>0.

由2kπ﹣ ≤ωx≤2kπ+

得f(ωx)的增区间是 ,k∈Z.

∵f(ωx)在 上是增函数,

∴﹣ ≥﹣


(3)解:由|f(x)﹣m|<2,得﹣2<f(x)﹣m<2,即f(x)﹣2<m<f(x)+2.

∵AB,∴当 ≤x≤ 时,

不等式f(x)﹣2<m<f(x)+2恒成立,

∴f(x)max﹣2<m<f(x)min+2,

∵f(x)max=f( )=3,f(x)min=f( )=2,

∴m∈(1,4).


【解析】(1)通过数量积的计算,利用二倍角公式化简函数的表达式,化为一个角的一个三角函数的形式,即可.(2)结合正弦函数的单调增区间,y=f(ωx)在区间 是增函数,说明 .求出ω的取值范围;(3)简化集合B,利用AB,得到恒成立的关系式,求出实数m的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识,掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在上是减函数.

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