Question

已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2

21

，离心率为

1

2

（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ，求点O到直线l的距离．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由题意可得

e= c a = 1 2 2b=2 21 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）直线l的方程与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，再利用

OP

⊥

OQ

?

OP

•

OQ

=0，及点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意可得

e= c a = 1 2 2b=2 21 a2=b2+c2

，解得

b= 21 c= 7 a2=28

，
∴椭圆C的方程为

x2

28

+

y2

21

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

，消去y得到（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0．
∵△＞0，∴64k²m²-16（3+4k²）（m²-21）=0，化为m²=21+28k²．（*）
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-84

3+4k2

．（**）
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
把（**）代入可得

(1+k2)(4m2-84)

3+4k2

+

-8k2m2

3+4k2

+m2=0．
化为m²=12+12k²=12（1+k²），∴

|m|

1+k2

=2

3

．
∴点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=2

3

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．