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6.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.
求①顶点C的坐标;
②直线BC的方程;
③过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的方程.

分析 ①令直线AC边所在的直线斜率为k,则$\frac{1}{2}k$=-1,从而直线AC的方程为2x+y-11=0.解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$,能求出顶点C的坐标.
②设点B的坐标为(x0,y0),且点B与点A关于直线2x-y-5=0对称,又点B在直线BH上,能求出x0=-1,y0=-3,由两点式,得直线BC的方程.
③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为(a,a),由此能求出圆的方程.

解答 解:①令直线AC边所在的直线斜率为k,
∵AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,
∴$\frac{1}{2}k$=-1,解得k=-2,
∴直线AC的方程为:y-1=-2(x-5),即,2x+y-11=0.
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$,得x=4,y=3,
∴顶点C的坐标为(4,3).
②设点B的坐标为(x0,y0),且点B与点A关于直线2x-y-5=0对称,
∴$2•\frac{{x}_{0}+5}{2}-\frac{{y}_{0}+1}{2}-5=0$,
又点B在直线BH上,
∴x0-2y0-5=0,
∴x0=-1,y0=-3,
所以,由两点式,得直线BC的方程为:$\frac{y+3}{x+1}=\frac{3+3}{4+1}$,
整理,得6x-5y-9=0.
③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为(a,a),
∵A(5,1),C(4,3),
∴$\sqrt{(a-5)^{2}+(a-1)^{2}}=\sqrt{(a-4)^{2}+(a-3)^{2}}$,
解得$a=-\frac{1}{2}$,
∴圆的半径r=$\sqrt{(-\frac{1}{2}-5)^{2}+(-\frac{1}{2}-1)^{2}}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$,
∴圆的方程为$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{65}{2}$.

点评 本题考查顶点坐标的求法,考查直线方程的求法,考查圆的方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点斜式方程、直线对称、圆的方程等知识点的合理运用.

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