Question

在直角坐标系xoy上取两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m）、N₂（0，n）且mn=3．
（Ⅰ）求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（Ⅱ）已知F₂（1，0），设直线l：y=kx+m与（Ⅰ）中的轨迹M交于P、Q两点，直线F₂P、F₂Q的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（I）由直线方程的点斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，联解并结合mn=3化简整理得

x2

4

+

y2

3

=1，再由N₁、N₂不与原点重合，可得直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（II）由直线l方程与（Ⅰ）中求出的方程消去y，得到关于x的一元二次方程．利用根与系数的关系和直线的斜率公式，结合α+β=π化简整理，解出m=-4k，所以直线l：y=kx+m即y=k（x-4），可得直线l过定点（4，0）．

解答：解：（I）依题意知直线A₁N₁的方程为：y=

m

2

（x+2）…①；
直线A₂N₂的方程为：y=-

n

2

（x-2）…②
设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①、②相乘，得y²=-

mn

4

（x²-4）
由mn=3整理得：

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁、N₂不与原点重合，可得点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上，
∴轨迹M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（II）由题意，可得直线l的斜率存在且不为零
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

-8km

3+k2

且x₁x₂=

4m2-12

3+k2

，
∵α+β=π，kPF2=

kx1+m

x1-1

，kQF2=

kx2+m

x2-1

，
∴kPF2+kQF2=

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，化简得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
即2k

4k2-12

3+k2

+（m-k）•

-8km

3+k2

-2m=0，整理得m=-4k
因此，直线l：y=kx+m即y=k（x-4），经过定点（4，0）．
综上所述，直线l过定点，该点的坐标为（4，0）．

点评：本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．