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(I)若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
A.64    B.66   C.68    D.70
(II)圆C:x2+y2-24x-28y-36=0内有一点Q(4,2),过点Q作直角AQB交圆于A,B,则动弦AB中点的轨迹方程.

解:(I)由2、3、5的最小公倍数为30,由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个,
所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数,考察四个选项,仅有B符合要求,
故选B
(II)设出线段AB的中点坐标为(x,y)
由题意各2x=xA+xB,2y=yA+yB
∴4x2=(xA+xB2
4y2=(yA+yB2
又x2+y2-24x-28y-36=0
∴(xA2+(yA2-24xA-28yA-36=0
(xB2+(yB2-24xB-28yB-36=0
以上两式相加得[(xA2+(yA2-24xA-28yA-36]+[(xB2+(yB2-24xB-28yB-36]=0
∴(xA2+(xB2+(yA2+(yB2-24×(xA+xB)-28×(yA+yB)-72=0
∴(xA+xB2-2xA×xB+(yA+yB2-2yA×yB-24×2x-28×2y-72=0
∴4x2+4y2-48x-56y-72=2(xA×xB+yA×yB
又PA⊥PB
∴[(yA-2)/(xA-4)]×[(yB-2)/(xB-4)]=-1
∴(xA-4)×(xB-4)+(yA-2)×(yB-2)=0
∴xA×xB+yA×yB=4(xA+xB)+2(yA+yB)-20
∴xA×xB+yA×yB=4×2x+2×2y-20
∴16x+8y-40=2(xA×xB+yA×yB
∴4x2+4y2-48x-56y-72=16x+8y-40
整理得x2+y2-16x-16y-8=0
即AB中点Q的轨迹方程是园:(x-8)2+(y-8)2=136(位于圆内).
分析:(I)由2、3、5的最小公倍数为30,由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个,所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数,由此规律选出正确选项;
(II)设出线段AB的中点坐标为(x,y),可得2x=xA+xB,2y=yA+yB,将A,B两点的坐标代入圆的方程,两式相加整理得出4x2+4y2-48x-56y-72=2(xA×xB+yA×yB),再由PA⊥PB 得出16x+8y-40=2(xA×xB+yA×yB)两式联立即可得到AB中点Q的轨迹方程
点评:本题考查轨迹方程的求法,解题的关键是将题设中位置关系转化成方程,整理出轨迹方程来,本题在解题过程中用到了恒等变形,代换等技巧,综合性较强.本题是近几年高考中的常见题型,就注意总结它的求解规律,此类题的解题规律大体都是如此,本题全是符号运算,运算量较大,解题时要注意变形的严谨性防止变形出错,导致解题失败.
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22、(I)若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
A.64       B.66     C.68       D.70
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(本小题满分10分)

(I)若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

       A.64     B.66     C.68     D.70

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