Question

（I）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
A．64　　　 B．66　　 C．68　　　 D．70
（II）圆C：x²+y²-24x-28y-36=0内有一点Q（4，2），过点Q作直角AQB交圆于A，B，则动弦AB中点的轨迹方程．

Answer 1

解：（I）由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，
所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数，考察四个选项，仅有B符合要求，
故选B
（II）设出线段AB的中点坐标为（x，y）
由题意各2x=x_A+x_B，2y=y_A+y_B
∴4x²=（x_A+x_B）²
4y²=（y_A+y_B ）²
又x²+y²-24x-28y-36=0
∴（x_A）²+（y_A）²-24x_A-28y_A-36=0
（x_B）²+（y_B）²-24x_B-28y_B-36=0
以上两式相加得[（x_A）²+（y_A）²-24x_A-28y_A-36]+[（x_B）²+（y_B）²-24x_B-28y_B-36]=0
∴（x_A）²+（x_B）²+（y_A）²+（y_B）²-24×（x_A+x_B）-28×（y_A+y_B）-72=0
∴（x_A+x_B）²-2x_A×x_B+（y_A+y_B）²-2y_A×y_B-24×2x-28×2y-72=0
∴4x²+4y²-48x-56y-72=2（x_A×x_B+y_A×y_B）
又PA⊥PB
∴[（y_A-2）/（x_A-4）]×[（y_B-2）/（x_B-4）]=-1
∴（x_A-4）×（x_B-4）+（y_A-2）×（y_B-2）=0
∴x_A×x_B+y_A×y_B=4（x_A+x_B）+2（y_A+y_B）-20
∴x_A×x_B+y_A×y_B=4×2x+2×2y-20
∴16x+8y-40=2（x_A×x_B+y_A×y_B）
∴4x²+4y²-48x-56y-72=16x+8y-40
整理得x²+y²-16x-16y-8=0
即AB中点Q的轨迹方程是园：（x-8）²+（y-8）²=136（位于圆内）．
分析：（I）由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数，由此规律选出正确选项；
（II）设出线段AB的中点坐标为（x，y），可得2x=x_A+x_B，2y=y_A+y_B，将A，B两点的坐标代入圆的方程，两式相加整理得出4x²+4y²-48x-56y-72=2（x_A×x_B+y_A×y_B），再由PA⊥PB 得出16x+8y-40=2（x_A×x_B+y_A×y_B）两式联立即可得到AB中点Q的轨迹方程
点评：本题考查轨迹方程的求法，解题的关键是将题设中位置关系转化成方程，整理出轨迹方程来，本题在解题过程中用到了恒等变形，代换等技巧，综合性较强．本题是近几年高考中的常见题型，就注意总结它的求解规律，此类题的解题规律大体都是如此，本题全是符号运算，运算量较大，解题时要注意变形的严谨性防止变形出错，导致解题失败．