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已知:函数f(x)=a•lnx+bx2+x在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设函数y=数学公式f(x)+数学公式的反函数为p(x),t(x)=p(x)(1-x),求函数t(x)的最大值.

解:(1)当x=1时,y=0,
代入f(x)=a•lnx+bx2+x,得b=-1.
∴f(x)=a•lnx-x2+x,

由切线方程知f′(1)=1,
∴a=2,
故f(x)=2lnx-x2+x.
(2)∵f(x)=2lnx-x2+x,
=lnx,
∴p(x)=ex
∵t(x)=ex(1-x),x∈R,
∴t′(x)=ex•(1-x)-ex=-xex
∴当x∈(-∞,0)时,t′(x)>0,
当x∈(0,+∞)时,t′(x)<0,
∴t(x)的最大值为t(0)=1.
分析:(1)当x=1时,y=0,代入f(x)=a•lnx+bx2+x,得b=-1.故,由切线方程知f′(1)=1,a=2,由此能求出f(x)的表达式.
(2)由f(x)=2lnx-x2+x,知=lnx,故p(x)=ex.由t(x)=ex(1-x),x∈R,知t′(x)=ex•(1-x)-ex=-xex,由此能求出t(x)的最大值.
点评:本题考查函数表达式的求法和函数最大值的求解,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意导当数的灵活运用.
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