Question

设f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax
（1）若f（x）在(

2

3

，+∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）f（x）在(

2

3

，+∞)上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在(

2

3

，+∞)上有解，根据f′（x）的单调性，只要f′（x）_max＞0即可；
（2）当a=1时，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，利用导数求出其极值，端点处函数值，然后进行比较即可求得最值；

解答：解：（1）f′(x)=-x2+x+2a=-(x-

1

2

)2+

1

4

+2a，
当x∈[

2

3

，+∞)时，f′(x)的最大值为f′(

2

3

)=

2

9

+2a，
令

2

9

+2a＞0，得a＞-

1

9

，
所以，当a＞-

1

9

时，f(x)在(

2

3

，+∞)上存在单调递增区间；
（2）当a=1时，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
f'（x）=-x²+x+2，令f'（x）=-x²+x+2=0得x₁=-1，x₂=2
因为f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f(2)=

10

3

．
因为f(1)=

13

6

，f(4)=-

16

3

，
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f(4)=-

16

3

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础．