【题目】将边长为3的正的各边三等分,过每个分点分别作另外两边的平行线,称的边及这些平行线所交的10个点为格点.若在这10个格点中任取个格点,一定存在三个格点能构成一个等腰三角形(包括正三角形).求的最小值.
【答案】5
【解析】
设.
设边上从点到的两个等分点分别为、,边上从点到的两个等分点分别为、,边上从点到的两个等分点分别为、,中间的一个格点为.
若的最小值为4,取格点、、、,则不存在三个格点能构成一个等腰三角形.
因此,.
下面证明:任取五个格点,一定存在三个格点能构成一个等腰三角形.
不妨假设被选取的点为红点.
只要证明:一定存在一个由红点构成的等腰三角形.
若这五个红点中包含格点,将其他九个格点分成三个点集.
由抽屉原理知,一定存在一个点集中包含至少两个红点,无论是哪个点集中的哪两个格点是红点,均与红点构成一个等腰三角形.
若这五个红点中不包含格点,当格点是红点时,在,中,如果有一个点集中包含两个红点,则结论成立;否则,每个点集中均恰有一个红点.
不妨假设为红点,则不是红点.
若为红点,则、不是红点,于是,是红点,且无论、是哪个是红点,均与、构成一个等腰三角形.
若不是红点,则为红点,于是,不是红点,是红点,无论哪个是红点,均可与或构成一个等腰三角形.
同理,当格点或为红点时,结论仍然成立.
若、、、均不是红点,则、、、、、中有五个红点,结论显然成立.
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【题目】已知函数f(x)的图象是由函数的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在内有两个不同的解.
①求实数m的取值范围;
②证明:.
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【题目】如图,正三棱柱中,(底面为正三角形,侧棱垂直于底面),侧棱长,底面边长,是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)设是线段的中点,求直线与平面所成的角的正弦值.
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【题目】平面直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于两点,试求.
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【题目】 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格,分别记录抽查数据如下(单位:千克):
甲车间:102,101,99,98,103,98,99.
乙车间:110,115,90,85,75,115,110.
(1)这种抽样方式是何种抽样方法;
(2)试根据这组数据说明哪个车间产品较稳定?
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【题目】《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产,数学家刘徽在注解《九章算术》时,发现当圆内接正多边行的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,为此他创立了割圆术,利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416,后人称3.14为徽率,如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,若结束程序时,则输出的为( )(,,)
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
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【题目】若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数,,,下列命题为真命题的是( )
A.在内单调递减
B.和之间存在“隔离直线”,且的最小值为
C.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是
D.和之间存在唯一的“隔离直线”
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