Question

已知函数g（x）=ax²-2a+1+b（a＞0）在区间[2，3]上头最大值4和最小值1，设f（x）=

g(x)

x

（1求a，b的值
（2）若不等式f（2^x）-k.2^x≥0在x∈[-1，1]有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）依题意知，g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上递增，由即可求得a、b的值．
（2）由（1）知，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-2，设2^x=t，k≤

f(t)

t

=

1

t2

-

1

t

+1，求出函数

1

t2

-

1

t

+1的大值即可

解答： 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+1+b-a，
∵a＞0，
∴g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上递增，
∴

g(2)=1• g(3)=4

，即

4a-4a+1+b=1 9a-6a+1+b=4

解得

a=1 b=0

；
（2）由（1）知，g（x）=x²-2x+1，
∴f（x）=

g(x)

x

=

x2-2x+1

x

=x+

1

x

-2，
设2^x=t，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

2

，2]，
∵f（2^x）-k.2^x≥0在x∈[-1，1]有解，
∴f（t）-kt≥0在t∈[

1

2

，2]有解，
∴k≤

f(t)

t

=

1

t2

-

2

t

+1，
再令

1

t

=m，则m∈[

1

2

，2]，
∴k≤m²-2m+1=（m-1）²
令h（m）=m²-2m+1，
∴h（m）_max=h（2）=1，
∴k≤1，
故实数k的取值范围（-∞，1]．

点评：本题考查函数的单调性质的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．