Question

已知曲线C的方程为y²=4x（x＞0），曲线E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|PF2|=

5

3

．
（1）求曲线E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，c=1，|PF2|=

5

3

，利用抛物线的定义可得xP=

2

3

，由此能求出曲线E的标准方程．
（2）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点F₂的坐标为（x₀，y₀），设直线方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）与

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△＞0，得4k²-m²+3＞0，由韦达定理得AB的中点（-

4km

3+4k2

，

-4k2+m

3+4k2

+m），代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），得9m=-16k（3+4k²），由此能求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）依题意，c=1，|PF2|=

5

3

，
利用抛物线的定义得xP=

2

3

，
∴P点的坐标为(

2

3

 ， 

2 6

3

)…（2分）
|PF1|=

7

3

，又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．…（4分）
∴b²=a²-c²=3，
所以曲线E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点F₂的坐标为（x₀，y₀），
设直线方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）
与

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，得4k²-m²+3＞0，①…（8分）
由韦达定理得x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴x₀=-

4km

3+4k2

，y0=

-4k2m

3+4k2

+m，
将中点（-

4km

3+4k2

，

-4k2m

3+4k2

+m）代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②…（10分）
将②代入①得16²k²（3+4k²）＜81
令∵x∈（1，e^b）t=4k²（t＞0），
则64t²+192t-81＜0，∴0＜t＜

3

8

，
∴-

6

8

＜k＜

6

8

．…（12分）

点评：本题考查曲线的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．