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已知f(x)=x2+(a-3)x+a.
(1)对于?x∈R,f(x)>0总成立,求a的取值范围;
(2)当x∈(-1,2)时f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
分析:(1)对于?x∈R,f(x)>0总成立,等价于△=(a-3)2-4a<0,即可求得a的取值范围;
(2)当x∈(-1,2)时f(x)>0恒成立,等价于x2+(a-3)x+a>0对x∈(-1,2)恒成立,即a(x+1)>3x-x2,进一步可转化为a>
3x-x2
x+1
=-(x+1)-
4
x+1
+5,利用基本不等式,即可求a的取值范围.
解答:解:(1)∵对于?x∈R,f(x)>0总成立,
∴△=(a-3)2-4a<0,解得1<a<9;
(2)当x∈(-1,2)时f(x)>0恒成立,等价于x2+(a-3)x+a>0对x∈(-1,2)恒成立,即a(x+1)>3x-x2
∵x∈(-1,2),∴x+1∈(0,3)
∴a>
3x-x2
x+1
=-(x+1)-
4
x+1
+5
∵x+1∈(0,3)时,(x+1)+
4
x+1
的最小值为4
∴a>-4+5=1
即a>1.
点评:本题考查恒成立问题,考查分离参数法的运用,考查基本不等式求最值,属于中档题.
练习册系列答案
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已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R的定义域为[-1,1].
(1)记|f(x)|的最大值为M,求证:M≥
1
2
.
(2)求出(1)中的M=
1
2
时,f(x)
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已知f(x)=x2+x+1,则f(
2
)
=
 
;f[f(
2
)
]=
 

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(2)令cn=
1
an-n-1
,求证:c2+c3+…+cn
2
3

(3)求证:
1
3
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
1
2

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(2)求f(x)+
9f(x)
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(Ⅰ)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)和g(x)在区间(-∞,(a+1)2]上都是减函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,比较f(1)和
16
的大小.

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