Question

已知向量

m

=（sin（x+

π

6

），1），

n

=（4，0），设f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式及周期；
（2）求函数f（x），x∈[-π，π]的单调递增区间；
（3）设函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及相应的k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数零点的判定定理,根的存在性及根的个数判断,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，及正弦函数的周期即可得到；
（2）运用正弦函数的单调增区间，解不等式，再由k的取值，即可得到；
（3）函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数即为方程f（x）=k的根的个数，
画出y=f（x）在区间[-π，π]的图象和直线y=k，通过图象观察即可得到．

解答： 解：（1）由于向量

m

=（sin（x+

π

6

），1），

n

=（4，0），
f（x）=

m

•

n

=4sin（x+

π

6

），
周期T=2π；
（2）令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
即有2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
可令k=0，则-

2π

3

≤x≤

π

3

，由于[-

2π

3

，

π

3

]⊆[-π，π]，
则f（x）的单调递增区间为[-

2π

3

，

π

3

]；
（3）函数h（x）=f（x）-k（k∈R）
在区间[-π，π]上的零点的个数即为方程f（x）=k的根的个数，
画出y=f（x）在区间[-π，π]的图象和直线y=k，
当k＞4或k＜-4时，没有交点，则零点个数为n=0；
当k=4或-4，有一个交点，则n=1；
当k=-2，有3个交点，则n=3；
当-4＜k＜-2或-2＜k＜4，均有2个交点，则n=2．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的周期和单调性，及函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，属于中档题和易错题．