Question

如图所示,有两条相交成60°角的直线xx′、yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox、Oy上,起初甲离O点3 km,乙离O点1 km,后来两人同时以每小时4 km的速度,甲沿xx′方向,乙沿y′y方向步行(设甲、乙初始位置分别为A、B).

(1)甲、乙两人之间的初始距离是多少?

(2)什么时间两人的距离最短?

Answer 1

解:(1)△AOB中,OA=3,OB=1,∠AOB=60°.

∴AB²=OA²+OB²-2×OA×OB×cos60°=7.

∴AB=,即甲、乙两人最初相距 km.

(2)设t小时后甲由A到P,乙由B到Q.

①当3-4t≥0,即t≤时,则△POQ中,OQ=1+4t,OP=3-4t,∠POQ=60°,

∴PQ²=(1+4t)²+(3-4t)²-2×(1+4t)×(3-4t)×cos60°.

②当3-4t＜0,即t＞时,△POQ中,OQ=1+4t,OP=4t-3,∠POQ=120°.

∴PQ²=(1+4t)²+(4t-3)²-2×(1+4t)×(4t-3)×cos120°.

综合①②知,当t≥0时,

PQ²=(4t+1)²+(4t-3)²+2×(4t+1)(4t-3)×

=(4t+1)²+(4t-3)²+(4t+1)(4t-3)

=48t²-24t+7=48(t-)²+4.

∴当t=时,PQ_min=2,

    即小时后,甲、乙两人的距离最短.