Question

15．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：

学生	A1	A2	A3	A4	A5
数学x（分）	89	91	93	95	97
物理y（分）	87	89	89	92	93

（1）根据表中数据，求物理分数y对数学分数x的线性回归方程；
（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2名参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）设所求的回归直线方程为$\hat y=\hat bx+\hat a$，分别求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\widehat{a}$，$\widehat{b}$，由此能求出物理分数y对数学分数x的线性回归方程．
（2）X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．

解答 解：（1）设所求的回归直线方程为$\hat y=\hat bx+\hat a$，
$\overline x=\frac{1}{5}（{89+91+93+95+97}）=93$，
$\overline y=\frac{1}{5}（{87+89+89+92+93}）=90$，
${\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）}^2}={（{-4}）^2}+{（{-2}）^2}+{0^2}+{2^2}+{4^2}=40$，
$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}=（{-4}）×（{-3}）+（{-2}）×（{-1}）+0×（{-1}）+2×2+4×3=30$，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{30}{40}=0.75$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=90-0.75×93=20.25$，
故所求回归直线方程为$\hat y=0.75x+20.25$…（8分）
（2）X的所有可能取值为0，1，2．
$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}，P（{X=1}）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}=\frac{2}{3}，P（{X=2}）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

所以$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}=1$．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．