Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，且AB=PD=1．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求异面直线PC与AB所成的角；
（3）求直线PB和平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接AC，BD，则

∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB；
（2）解：∵AB∥CD，∴∠PCD（或其补角）即为异面直线PC与AB所成的角；
∵PD⊥DC，且DC=AB=PD=1．
∴∠PCD=45°；
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PD⊥AB
∵底面ABCD为正方形，∴AB⊥AD
∵AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD
∴∠APB为直线PB和平面PAD所成角
∵AB=1，PD=
∴tan∠APB=
∴直线PB和平面PAD所成角的正切值为．
分析：（1）连接AC，BD，证明AC⊥BD，PD⊥AC，即可证明AC⊥平面PBD，从而可得结论；
（2）求得∠PCD（或其补角）即为异面直线PC与AB所成的角，即可求解；
（3）证明AB⊥平面PAD，可得∠APB为直线PB和平面PAD所成角，从而可求直线PB和平面PAD所成角的正切值．
点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出空间角是关键．