分析:(1)联立方程,组成方程组,问题转化为方程x2+2a2x+2a2m-a2=0在x∈(-a,a)上有唯一解或等根,再讨论三种情况,可得实数m的取值范围;
(2)分类讨论,表示出△OAP的面积,比较两个面积的大小关系,即可求得结论.
解答:解:(1)由
消去y得,x
2+2a
2x+2a
2m-a
2=0. ①
设f(x)=x
2+2a
2x+2a
2m-a
2,问题(1)转化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根.
只须讨论以下三种情况:
1°△=0得m=
,此时x
p=-a
2,当且仅当-a<-a
2<a,即0<a<1时适合;
2°f(a)•f(-a)<0当且仅当-a<m<a;
3°f(-a)=0得m=a,此时 x
p=a-2a
2,当且仅当-a<a-2a
2<a,即0<a<1时适合.
f(a)=0得m=-a,此时 x
p=-a-2a
2,由于-a-2a
2<-a,从而m≠-a.
综上可知,当0<a<1时,m=
或-a<m≤a;当a≥1时,-a<m<a.
(2)△OAP的面积S=
ay
p.
∵0<a<
,∴-a<m≤a时,
0<-a2+a<a,由唯一性得x
p=
-a2+a.
显然当m=a时,x
p取值最小.
由于x
p>0,从而
yp=取值最大,此时y
p=2
,∴S=a
.
当m=
时,x
p=-a
2,y
p=
,此时S=
a
.
下面比较a
与
a
的大小:
令a
=
a
,得a=
.
故当0<a≤
时,
a≤a,此时S
max=
a.
当
<a<
时,
a>a,此时S
max=a
.…(20分)
点评:本题考查曲线的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析转化问题的能力,属于中档题.