Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1-mx}{1+x}$．
（1）当m=2时，用定义证明：f（x）在x∈（0，+∞）上的单调递减；
（2）若不恒为0的函数g（x）=1gf（x）是奇函数，求实数m的值．

Answer 1

分析 （2）根据函数单调性的定义证明步骤即可．
（2）由不恒为0的函数g（x）=1gf（x）是奇函数，可得g（-x）+g（x）=0，即可求实数m的值．

解答 （1）证明：当m=2时，f（x）=$\frac{1-2x}{1+x}$=-2+$\frac{1}{1+x}$，
任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$
因为0＜x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在x∈（0，+∞）上的单调递减；
（2）解：∵不恒为0的函数g（x）=1gf（x）是奇函数，
∴g（-x）+g（x）=0，f（x）≠1
∴1gf（-x）+1gf（x）=0，
∴1g[f（-x）f（x）]=0，
∴f（-x）f（x）=1，
∴$\frac{1+mx}{1-x}$•$\frac{1-mx}{1+x}$=1，
∴m=±1．
∵f（x）≠1
∴m=1．

点评 本题考查函数的奇偶性，函数单调性的判断与证明，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．