Question

如果函数f(x)=

2x-a

a•2x+1

(a＜0)是奇函数，则函数y=f（x）的值域是（　　）

A．[-1，1]

B．（-1，1]

C．（-1，1]

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：根据函数为奇函数，由奇函数定义求出a的值，然后通过变形使得函数式变为只是分母含有未知量的函数，最后根据取值变化求出函数值域．

解答：解：∵函数f(x)=

2x-a

a•2x+1

(a＜0)是奇函数，
所以f(-x)+f(x)=

2-x-a

a•2-x+1

+

2x-a

a•2x+1

=

1-a•2x

2x+a

+

2x-a

a•2x+1

=0恒成立，
∴

1-a2•22x+22x-a2

(2x+a)(a•2x+1)

=0
即1-a²•2^2x+2^2x-a²=0，
也就是（1-a²）（1+2^2x）=0恒成立，
即1-a²=0
∴a=-1，或a=1（舍），
故a=-1，∴f(x)=

1+2x

1-2x

=1+

2

1 2x -1

，
∵2^x＞0，∴

1

2x

-1＞-1，
∴

2

1 2x -1

∈(-∞，-2)∪(0，+∞)，
∴f（x）∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故选D．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断及应用，考查了运用函数奇偶性求函数解析式的方法，求函数值域时运用了极限思想，是容易出错的地方．