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    15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，若直线l1过原点，直线l2与直线l1相交于点P，丨$\overrightarrow{OP}$丨=1，且l1⊥l2，直线l2与椭圆交于A、B两点，问是否存在这样的直线l2，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立，若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

    分析 分类讨论，根据$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1，丨$\overrightarrow{OP}$丨=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．

    解答 解：假设存在直线l2，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立．
    设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，
    则直线l1的方程为nx-my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．
    （1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
    代入$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$≠1，不符题意；  …（5分）
    （2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1联立，
    又m2+n2=1，得 （1+m2）x2-4mx+2-8n2=0．…（6分）
    ∴x1+x2=$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，x1x2=$\frac{2-8{n}^{2}}{1+{m}^{2}}$．  …（7分）
    又∵$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1，
    ∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．
    又 mx1+ny1=1，mx2+ny2=1
    ∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．
    ∴x1x2+y1y2=0．    …（9分）
    ∴n2x1x2+1+m2x1x2-m（x1+x2）=0．
    ∴x1x2+1-m（x1+x2）=0．   …（11分）
    ∴-5n2=0．
    ∴n=0这与n≠0矛盾．   …（12分）
    综上可知，不存在这样的直线l2，使$\overrightarrow{AP•}\overrightarrow{PB}$=1成立．

    点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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