Question

（2007•武汉模拟）在锐角△ABC中，A＞B，则有下列不等式：①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sin2A＞sin2B；④cos2A＜cos2B（　　）

A．①③

B．②③

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①利用正弦定理，sinA＞sinB 等价于 a＞b． ②由cosA＜cosB，利用同角三角函数的基本关系可得sinA＞sinB，
③由sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，举反例说明．  ④由cos2A＜cos2B，可得sinA＞sinB，故等价于 a＞b

解答：解：由①，A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①对
由②，A＞B等价于a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，因为锐角△ABC中，利用同角三角函数的基本关系可得cosA＜cosB，故②对
 对于③，例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A＞sin2B，所以③不对；
对于④，因为在锐角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以
利用二倍角公式即 1-2sin²A＜1-2sin²B，∴cos2A＜cos2B，故④对．
故选D

点评：本题考查正弦函数的单调性，正弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形中有大角对大边，将命题转化是解题的关键．