Question

【题目】椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，P是椭圆上不同于M，N的一点，直线PM，PN交x轴于D（xD，0）E（xE，0），证明：xDxE为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由已知条件圆与直线相切，求出，再由离心率结合关系，即可求解；

（2）设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），P（xP，yP），求出直线PM，PN方程，进而求出坐标，结合点在椭圆上，即可证明结论.

（1）由题意e，b1，

所以a，

因此求椭圆的方程；

（2）证明：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），P（xP，yP），

则直线PM：y﹣y0（x﹣x0），

令y＝0，得xDx0，

同理直线PN：y+y0（x﹣x0），

得xEx0，

所以xDxE＝（x0）（x0），①

又，，

则x02＝2（1﹣y02），xP2＝2（1﹣yP2），代入① 整理得xDxE＝2

所以xDxE为定值2．