Question

已知函数，函数g（x）=3（x-1）²．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，分别求出f（x）和g（x）的单调区间；
（Ⅲ）讨论方程f（x）=g（x）的解的个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=3ax²-3ax…（1分）
∵函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直
∴f'（2）=-1，即12a-6a=-1，解得…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1）
∵a＞0，由f'（x）＞0可得x＜0或x＞1；由f'（x）＜0可得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）…（5分）
函数g（x）=3（x-1）²单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）…（6分）
（Ⅲ）令，
则．…（8分）
①若a=0，则φ（x）=-3（x-1）²，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解；
②若a＜0，则φ（x）的极大值为φ（1）=-＞0，φ（x）的极，小值为φ（）=-+-3＜0
∴φ（x）的图象与x轴有三个交点，即方程f（x）=g（x）有三个解；．…（10分）
③若0＜a＜2，则φ（x）的极大值为，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，
即方程f（x）=g（x）只有一个解； …（11分）
④若a=2，则φ'（x）=6（x-1）²≥0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，
即方程f（x）=g（x）只有一个解； …（12分）
⑤若a＞2，由（2）知φ（x）的极大值为，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解； …（13分）
综上所述，若a≥0，方程f（x）=g（x）只有一个解；若a＜0方程f（x）=g（x）有三个解．…（14分）
分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直，可得切线的向量，从而可求a的值；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负取得函数的单调区间；
（Ⅲ）构造新函数，求导函数，分类讨论，确定极值的大小，从而可得方程解的个数．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．