Question

（2012•湖北模拟）已知函数f（x）=e^x-ax-2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，m为整数，且x＞0时，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，求m的最大值．（可能用到的参数考数据：e=2.718，e²=7.389，e³=20.086）

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
（2）把a=1代入f（x），因为不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0，可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，再利用分离变量法进行求解；

解答：解：（1）函数f（x）=e^x-ax-2，
f′（x）=e^x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
若a＞0，则x∈（-∞，lna）时，f′（x）＞0；
当x∈（lna，+∞）上单调递减，在（-∞，lna）上单调递增，
（2）a=1，m为整数，且x＞0时，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，
可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，分离变量得，m＜x-1+

x+3

ex

令g（x）=x-1+

x+3

ex

，x∈（0，+∞），
g′（x）=

ex-x-2

ex

，
令g（x）=x-1+

x+3

ex

，x∈（0，+∞），g′（x）=

ex-x-2

ex

，
令h（x）=e^x-x-2，x∈（0，+∞），
由（1）可知h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又h（1）=e-3＜0，h（

3

2

）=e²-

7

2

＞0，
∴必存在x₀∈（1，

3

2

），使h（x₀）=0，
当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为单调递减，
∴g（x）_min=g（x₀）=x₀-1+

x0+3

ex0

，
∵x₀是方程e^x-x-2=0的根，
∴e^x=x₀+2，
∴g（x）_min=x₀-1+

x0+3

ex0

=x₀-1+

x0+3

x0+2

=

x 2 0 +4x0+3

(x0+2)2

，
令m（x₀）=

x 2 0 +2x0+1

x0+2

，x₀∈（1，

3

2

），m′（x₀）=

x 2 0 +4x0+3

(x0+2)2

＞0
∴m（x₀）在（1，

3

2

）上单调递减，
∴m（x₀）∈（

4

3

，

25

14

），即g（x）_max∈（

4

3

，

25

14

），
∴m的最大值为1．

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，解题的过程中用到常数分离法进行求解，是一道中档题；