Question

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；
（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记A_i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，B_i表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．B=A0•A+A1•

.

A

，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率．
（Ⅱ）P(B0)=0.62=0.36，P（B₁）=2×0.4×0.6=0.48，P(B2)=0.42=0.16，P(A2)=0.62=0.36，由C=A₁•B₂+A₂•B₁+A₂•B₂，能求出开始第5次发球时，甲领先得分的概率．

解答：解：（Ⅰ）记A_i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，
B_i表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，
A表示事件：第3次发球，甲得1分，
B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，
C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．
∴B=A0•A+A1•

.

A

，
P（A）=0.4，P（A₀）=0.4²=0.16，
P（A₁）=2×0.6×0.4=0.48，
P（B）=P(A0•A+A1•

.

A

)
=P（A₀•A）+P（A1•

.

A

）
=P(A0)P(A)+P(A1)P(

.

A

)
=0.16×0.4+0.48×（1-0.4）
=0.352．
答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．
（Ⅱ）P(B0)=0.62=0.36，
P（B₁）=2×0.4×0.6=0.48，
P(B2)=0.42=0.16，
P(A2)=0.62=0.36，
∵C=A₁•B₂+A₂•B₁+A₂•B₂，
∴P（C）=P（A₁•B₂+A₂B₁+A₂•B₂）
=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）+P（A₂•B₂）
=P（A₁）P（B）+P（A₂）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072．
答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．

点评：本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n次独立重复试验的性质和公式的灵活运用．