Question

试证：以O点为始点的三个向量a、b、c的终点A、B、C在同一条直线上的充要条件是c=αa+βb(α、β∈R,α+β=1).知识不会老化，知识老化的人，是不学习的人.

Answer 1

证明:（1）必要性：

若A、B、C在同一直线上，则存在实数λ,使=λ,所以=λ(),即c-a=λ(b-a).整理得c=(1-λ)a+λb.令α=1-λ,β=λ,则α+β=1,c=αa+βb成立.

（2）充分性：

若c=αa+βb且α+β=1,

则c=αa+(1-α)b.

所以c-b=α(a-b).

所以=α().

所以=α·.所以与共线.

又B点为公共点，所以A、B、C三点共线.