精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x,y)(x≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.
【答案】分析:(1)设出F,Q,R的坐标,求出|QR|,利用△QRS的面积为4,可求p的值;
(2)求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率,一种方法是设直线方程与抛物线方程联立,利用判别式为0,另一种方法是导数法;求直线MN的斜率,一种方法是设直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理及斜率公式,可求斜率,另一种方法是利用kAM=-kAN,确定斜率,从而可得结论.
解答:(1)解:由题设,设,则…(1分)
=.…(2分)
∴由△QRS的面积为4,得:,得:p=2.…(4分)
(2)证明:由题意A1(-x,y)…(5分)
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.
解法一:设抛物线在A1处的切线的斜率为k,则其方程为y=k(x+x)+y…(6分)
联立,消去y得x2-2pkx-2pxk-2py=0
代入上式得:…(7分)
…(8分)
,即,得
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为.…(9分)
解法二:由x2=2py得,…(6分)
…(7分)
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1(-x,y)处的切线的斜率为.…(9分)
再求直线MN的斜率.
解法一:设直线AM的斜率为k1,则由题意直线AN的斜率为-k1.…(10分)
直线AM的方程为y-y=k1(x-x),则直线AN的方程为y-y=-k1(x-x).
联立,消去y得…(1)…(11分)
∵方程(1)有两个根x,x1,∴
,x+x1=2pk1,即x1=2pk1-x,同理可得x2=-2pk1-x…(12分)
直线MN的斜率=.…(13分)
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.…(14分)
解法二:∵kAM=-kAN…(10分)
…(11分)
分别代入上式得:
整理得2x=x1+x2.…(12分)
∴直线MN的
斜率=.…(13分)
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.…(14分)
点评:本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•黑龙江)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4
2
;求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设抛物线C:x2=2py(p>0),F为焦点,抛物线C上一点P(m,3)到焦点的距离是4,抛物线C的准线l与y轴的交点为H
(1)求抛物线C的方程;
(2)设M是抛物线C上一点,E(0,4),延长ME、MF分别交抛物线C于点A、B,若A、B、H三点共线,求点M的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设抛物线C:x2=2py(p>0),过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A,B两点,已知|AB|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知t是一个负实数,P是直线y=t上一点,过P作直线l1与l2,使l1⊥l2,若对任意的点P,总存在这样的直线l1与l2,使l1,l2与抛物线均有公共点,求t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省广州市海珠区高三(上)数学综合测试1(理科)(解析版) 题型:解答题

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x,y)(x≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

查看答案和解析>>

同步练习册答案