Question

18、已知x=1是函数f（x）=x³-ax（a为参数）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，可求出函数的导数，利用f'（1）=0建立方程求出a的值；
（2）得用导数研究出函数在x∈[0，2]上的单调性确定出最值取到的位置，解出其值即可

解答：解：（1）由已知f'（x）=3x²-a，…（2分）
因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0．
所以a=3．…（4分）
（2）解f'（x）=3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，
所以，（-∞，-1），（1，+∞）是函数f（x）的递增区间；（-1，1）函数f（x）的递减区间．…（8分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最小值为f（1）=-2；…（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，所以x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值为f（2）=2．…（12分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值分别为2和-2．

点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，解题的关键是理解并能熟练运用导数确定出函数最值的位置，利用导数法研究函数的最值是导数的重要运用，作为求最值的重要工具，掌握求导的方法可以使得解此类题顺利．