Question

已知点C为抛物线y²=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点F为焦点，点A、B是抛物线上的两个点．若

.

FA

+

.

FB

+2

.

FC

=

.

0

，则向量

.

FA

与

.

FB

的夹角为（　　）

• A．

  2

  3

  π
• B．

  3

  4

  π
• C．

  5π

  6

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：设出点A，B的坐标，利用点A、B是抛物线上的两个点，

.

FA

+

.

FB

+2

.

FC

=

.

0

，可求

.

FA

=(p，

3

p)，

.

FB

=(p，-

3

p)，再利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），抛物线y²=2px（p＞0）的准线与x轴的交点C（-

p

2

，0），焦点F（

p

2

，0）
∵

.

FA

+

.

FB

+2

.

FC

=

.

0

，
∴(x1-

p

2

，y1)+(x2-

p

2

，y2)+（-2p，0）=（0，0）
∴x₁+x₂=3p，y₁+y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
∴y₁²=y₂²=3p²，x₁=x₂=

3

2

p
∴

.

FA

=(p，

3

p)，

.

FB

=(p，-

3

p)
设向量

.

FA

与

.

FB

的夹角为α，则cosα=

. FA • FB

| . FA || FB |

=

p2-3p2

4p2

=-

1

2

∵α∈[0，π]
∴α=

2

3

π
故选A．

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的夹角公式，解题的关键是确定向量

.

FA

与

.

FB

的坐标．