Question

已知抛物线y²=8x的焦点F到双曲线C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为

4 5

5

，点P是抛物线y²=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（　　）

• A、

  y2

  2

  -

  x2

  3

  =1
• B、

  y2

  4

  -x²=1
• C、y²-

  x2

  4

  =1
• D、

  y2

  3

  -

  x2

  2

  =1

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得当P，F，F₁共线时，和|PF₁|+|PF|取得最小值，且为|FF₁|=3，即有c²=5，再由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式可得a=2，从而b=1，进而得到双曲线的方程．

解答： 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），准线方程为x=-2，
则P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离
与到直线x=-2的距离之和，即为|PF₁|+|PF|，
当P，F，F₁共线时，和取得最小值，且为|FF₁|=3，
即有c²+4=9，即有c²=5，
又F（2，0）到直线ax+by=0的距离为为

4 5

5

，
即

2a

5

=

4 5

5

，即a=2，则b=1，
则该双曲线的方程为

y2

4

-x²=1．
故选B．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．