Question

（2006•南京二模）如图，已知曲线C：y=

1

x

，Cn：y=

1

x+2-n

(n∈N*)．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（Ⅰ）求Q₁，Q₂的坐标；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I）由Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），知点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），由此能求出点Q₁、Q₂的坐标；
（II）由Q_n，Q_n+1在曲线C上，知yn=

1

xn

，yn+1=

1

xn+1

，由P_n在曲线C_n上，知yn+1=

1

xn+2-n

，由此能求出数列{a_n} 的通项公式；
（III）由x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1=1-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-2^1-n，知a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）=2-n(

1

xn

-

1

xn+1

)=

1

2n

(

1

2-21-n

-

1

2-2-n

)=

1

(2•2n-2)• (2•2n-1)

，由此入手能够证明s_n＜

1

3

．

解答：（I）解：∵Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），
∴点P_n的坐标为（x_n，y_n+1）
∵x₁=1∴y₁=1，∴Q₁（x₁，y₁）即Q₁（1，1）
C1：y=

1

x+2-1

，令x=1则y₂=

2

3

∴P₁的坐标为（x₁，y₂）即（1，

2

3

）
令

2

3

=

1

x2

得x₂=

3

2

∴Q₂（x₂，y₂）即Q₁（

3

2

，

2

3

）．-----------------------------------（2分）
（II）解：∵Q_n，Q_n+1在曲线C上，
∴yn=

1

xn

，yn+1=

1

xn+1

，
又∵P_n在曲线C_n上，
∴yn+1=

1

xn+2-n

，--------------------------------（4分）
∴x_n+1=x_n+2^-n，
∴a_n=2^-n．-----------------------------------------（6分）
（III）证明：x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁
=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1
=1-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-2^1-n．-------------------（9分）
∴a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）=2-n(

1

xn

-

1

xn+1

)=

1

2n

(

1

2-21-n

-

1

2-2-n

)=

1

(2•2n-2)• (2•2n-1)

，
∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，
∴an•bn≤

1

3•2n

．--------------------------------（12分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
≤

1

3×2

+

1

3×22

+…+

1

3×2n

=

1

6

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

3

(1-

1

2n

)＜

1

3

-----------------------（14分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题．