【题目】在△ABC中, , .
(1)设,若f(A)=0,求角A的值;
(2)若对任意的实数t,恒有,求△ABC面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用平面向量的数量积公式、二倍角公式的逆用和配角公式化简函数表达式,再通过解三角方程进行求解;(2)利用平面向量的模长公式进行化简,利用平面向量的垂直得到不等关系,再利用三角形的面积公式进行求解.
试题解析:(1)f(x)=·=-sin2x+sin xcos x=-×+=sin-.
∵f(A)=0,∴sin=,
又2A+∈,∴2A+=,∴A=.
(2)由|-t|≥||,得|+(1-t) |≥||,
则||2+2(1-t)·+(1-t)2||2≥||2,
故对任意的实数t,恒有2(1-t)·+(1-t)2||2≥0,故·=0,即BC⊥AC.
∵||=≤2,||=1,∴BC=≤,
∴△ABC的面积S=BC·AC≤,∴△ABC面积的最大值为.
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【题目】设函数f(x)=|2x+3|-|2x-a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤-5的解集非空,求实数a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)的图象关于点对称,求实数a的值.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为.
(Ⅰ)若原点到直线x+y-b=0的距离为,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A,B两点,对于椭圆上任意一点M,总存在实数λ、μ,使等式成立,求λ2+μ2的值.
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为上任意一点,求的最小值,并求相应的点M的坐标.
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【题目】某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试,学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人.
(1)若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求a,b的值;
(2)若样本中,求在地理成绩及格的学生中,数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.
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【题目】(导学号:05856263)
已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点N,过点N作圆M:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为P、Q,且|PQ|=.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过抛物线的焦点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点,A、B两点的横坐标均不为2,连接AM,BM并延长分别交抛物线于C、D两点,设直线CD的斜率为k2,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】2016年1月,某国宣布成功进行氢弹试验后,A,B,C,D四国领导人及联合国主席纷纷表示谴责,就此,某电视台特别邀请一军事专家对这一事件进行评论,若该军事专家计划从A,B,C,D四国及联合国主席这5个领导人中任选2人的发言态度进行评论,那么,他评论的这2人中至少包括A、B一国领导人的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】(1)选修4-2:矩阵与变换
求矩阵的特征值和特征向量.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程(是参数),若圆与圆相切,求实数的值.
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