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(理)如图,P为△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,过点A作垂直于PC的截面ADE,截面交PC于点D,交PB于点E.
(Ⅰ)求证:BC⊥PC;            
(Ⅱ)求证:DE∥平面ABC;
(Ⅲ) 若点M为△PBC内的点,且满足M到AD的距离等于M到BC的距离,试指出点M的轨迹是什么图形,并说明理由.

(Ⅰ)证明:∵P为△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC
∵平面PAC∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴BC⊥PC;
(Ⅱ)证明:∵PC⊥截面ADE,DE?截面ADE
∴PC⊥DE
∵BC⊥PC
∴DE∥BC
∵DE?平面ABC,BC?平面ABC
∴DE∥平面ABC;
(Ⅲ) 解:连接MD
∵PC⊥截面ADE,AD?截面ADE
∴AD⊥BC
∵BC⊥平面PAC,AD?平面PAC
∴AD⊥平面PBC
∵MD?平面PBC
∴AD⊥MD
∴MD为M到AD的距离
∵点M为△PBC内的点,且满足M到AD的距离等于M到BC的距离
∴根据抛物线的定义,可知点M的轨迹是抛物线的一部分.
分析:(Ⅰ)证明线线垂直的关键是利用线面垂直的性质,因此只需要证明线面垂直即可,利用面面垂直的性质可以证明;
(Ⅱ)证明线面平行的关键是利用线面平行的判定定理,因此只需要证明DE平行于平面ABC内的一条直线即可;
(Ⅲ) 先证明AD⊥平面PBC,从而MD为M到AD的距离,因为点M为△PBC内的点,且满足M到AD的距离等于M到BC的距离,根据抛物线的定义,可知点M的轨迹是抛物线的一部分.
点评:本题以线面垂直为载体,考查线线垂直,线面平行,考查轨迹问题,解题的关键是正确运用线面垂直,线面平行的判定与性质.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(理)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点 E在线段PC上,设
PEEC
,PA=AB.
(I)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)当λ为何值时,PC⊥平面BDE;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角B-PC-A的平面角大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理)如图,P为△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,过点A作垂直于PC的截面ADE,截面交PC于点D,交PB于点E.
(Ⅰ)求证:BC⊥PC;                         
(Ⅱ)求证:DE∥平面ABC;
(Ⅲ) 若点M为△PBC内的点,且满足M到AD的距离等于M到BC的距离,试指出点M的轨迹是什么图形,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2007•静安区一模)(理) 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,点O为该正方形的中心,侧棱PA=PC,PB=PD.
(1)求证:四棱锥P-ABCD是正四棱锥;
(2)设点Q是侧棱PD的中点,且PD的长为2a.求异面直线OQ与AB所成角的大小.(用反三角函数表示)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(理)如图,P为△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,过点A作垂直于PC的截面ADE,截面交PC于点D,交PB于点E.
(Ⅰ)求证:BC⊥PC;                         
(Ⅱ)求证:DE平面ABC;
(Ⅲ) 若点M为△PBC内的点,且满足M到AD的距离等于M到BC的距离,试指出点M的轨迹是什么图形,并说明理由.
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