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18.如图1,四面体PABC中,BC=BP=1,AC=AP=$\sqrt{3}$,AB=2,将△PAB沿直线AB翻折至△P1AB,使点A,P1,B,C在同一平面内(如图2),点M为PC中点.
(1)求证:直线PP1∥平面MAB;
(2)求证:PC⊥AB;
(3)求直线PA与平面P1PC所成角的大小.

分析 (1)连接CP1交AB与于O,连接MO,推导出MO∥PP1,由此能证明直线PP1∥平面MAB.
(2)推导出AM⊥PC,AM⊥BM,由此能证明PC⊥AB.
(3)由已知得AO⊥CP1,AB⊥PC,从而AO⊥平面CPP1,进而∠APO是直线PA与平面P1PC所成角,由此能求出直线PA与平面P1PC所成角的大小.

解答 证明:(1)连接CP1交AB与于O,连接MO,
∵AC=AP1=$\sqrt{3}$,CB=BP1=1,∠ACB=∠P1AB=30°,
∴O为CP1中点,
∵点M为PC中点,∴MO∥PP1
∵MO?平面MAB,PP1?平面MAB,
∴直线PP1∥平面MAB.
(2)∵AP=AC=$\sqrt{3}$,BP=BC=1,M为PC中点,
∴AM⊥PC,AM⊥BM,
∴PC⊥面ABM,AB在面ABM内,
∴PC⊥AB.
解:(3)∵四面体PABC中,BC=BP=1,AC=AP=$\sqrt{3}$,AB=2,
将△PAB沿直线AB翻折至△P1AB,使点A,P1,B,C在同一平面内$\frac{π}{3}$,
O为CP1中点,
∴AO⊥CP1,由(2)知AB⊥PC,
又PC∩CP1=C,∴AO⊥平面CPP1
∴∠APO是直线PA与平面P1PC所成角,
∵∠ACB=∠P1AB=30°,∴P1O=$\frac{1}{2}A{P}_{\;}$1=$\frac{1}{2}AP$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$AO=\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=$\frac{3}{2}$,
∴sin$∠APO=\frac{AO}{AP}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠APO=$\frac{π}{3}$.
∴直线PA与平面P1PC所成角为$\frac{π}{3}$.

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查线面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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