Question

12．以下四个判断中，正确的是①②③（多选、少选、选错均不得分）．
①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的个数为15；
②已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=4，那么$\overrightarrow{b}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
③在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，则△ABC是钝角三角形；
④设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，若{S_n}是等差数列，则{a_n}一定是常数列．

Answer 1

分析 ①根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2^N-1，来判断．
②由向量数量积公式进行计算即可．
③由正弦定理可得 a²+b²＜c²，则再由余弦定理可得cosC＜0，故C为钝角，从而得出结论．
④利用数列的项与和的关系式，求数列的通项．来判断④是否正确．

解答 解：对于①，集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的个数为2⁴-1=15，所以①正确；
对于②，由题意知$\overrightarrow{b}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=2×4×4cos120°+4²=0．∴$\overrightarrow{b}⊥（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；②正确；
对于③，在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，由正弦定理可得 a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，故C为钝角，故△ABC是钝角三角形，所以③正确；
对于④，∵{S_n}是等差数列，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=d，当n=1时，a₁=S₁，
∵d、S₁不一定相等，∴{a_n}不一定是常数列．故④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题借助考查命题的真假判断，考查向量的夹角问题．考查正弦定理、余弦定理的应用，数列以及真子集的应用，属于中档题．