Question

设f（x）定义在实数集R上，当x＞0时，f（x）＞1且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）gf（y），且f（1）=4，
（1）证明：f（x）为R上的单调函数．
（2）解不等式：f（3x-x²）＞16．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）采用赋值法，令x=y=0，即可求得f（0）；
（2）对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），由f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）可求得f（x）＞0，再利用单调性的定义即可证明f（x）为单调递增函数．

解答： 解：（1）令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
∵x＞0时，f（x）＞1
∴f（1）＞1，又f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），∴f（0）≠0，故f（0）=1．
又f（0）=f（x-x）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x），∴f（x）f（-x）=1，
∴对于任意x＜0，则-x＞0，∴f（-x）＞1，∴f(x)=

1

f(-x)

＞0，
∴?x∈R，f（x）＞0，
设任意的两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数，
（2）f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4×4=16，
f（3x-x²）＞f（2），
∵f（x）是R上的增函数，
∴3x-x²＞2，
解得1＜x＜2，
∴原不等式的解集为{x|1＜x＜2}

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查赋值法的运用，考查函数单调性的定义的应用，属于难题．