Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），且f（5）＝﹣3，则f（2019）的值为（ ）

A.6B.﹣3C.0D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意，在f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2）中，令x＝0变形可得f（2）＝0，即可得f（x+2）＝f（2﹣x），结合函数奇偶性可得f（x+4）＝﹣f（x），进而可得函数f（x）是周期为8的周期函数，据此结合f（5）＝﹣3求解.

因为对于任意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），

令x＝0可得：f（2）＝f（2）+3f（2），

解得f（2）＝0；

则f（x+2）＝f（2﹣x），

解得f（﹣x）＝f（4+x），

又因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），

则有f（x+4）＝﹣f（x），

所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），

即函数f（x）是周期为8的周期函数，

所以f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣f（5）＝3；

故选：D．