Question

17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a-b+c）=ac
（1）求B的大小；
（2）若sinAsinC=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，求C的大小．

Answer 1

分析 （1）化简利用余弦定理即可得出．
（2）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由（a+b+c）（a-b+c）=ac，化为b²=a²+c²+ac，又b²=a²+c²-2accosB，
∴cosB=$-\frac{1}{2}$，
在△ABC中，0＜B＜π，B=$\frac{2π}{3}$．
（2）sinAsinC=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$即sin（$\frac{π}{3}-C$）sinC=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，展开整理得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．