Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

Answer 1

分析：（1）关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，可转化为|x-1|（|x+1|-a）=0只有一个解，进而转化为|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，进行判断得出参数范围即可．
（2）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，此分类讨论是根据自变量进行分类的，故求得的参数范围必须求交集教参能满足恒成立．
（3）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值，由于参数的影响，函数的单调性不确定，故可以根据需要分成三段进行讨论

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且仅有一个等于1的解或无解，
由此得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤

x2-1

|x-1|

，令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．
（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax-a-1，(x≥1) -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1) x2-ax+a-1，(x＜-1)

（10分）
当

a

2

＞1，即a＞2时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上递减，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0时，结合图形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上递减，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2时，结合图形可知h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上递减，
在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0．
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．（14分）

点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是根据所给的条件及相关知识对问题进行正确转化，本题比较抽象，对问题的转化尤其显得重要，本题在求解问题时用到了分类讨论的思想，转化化归的思想，数学综合题的求解过程中，常到到这两个思想．