Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若，求f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P、Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函数的导函数得到函数的驻点，然后在[-2，4]上利用驻点分区间讨论函数的增减性得到函数的最值即可；
（Ⅱ）根据奇函数定义f（-x）=-f（x）求出a和c得到f（x）解析式并求出导函数在点P（x，f（x））写出切线方程，与f（x）解析式联立求出公共解，再根据求出λ的值即可．
解答：（Ⅰ）若，f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）

最小值为f（2）=-9，最大值为f（4）=17，
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x³+ax²+bx+c为奇函数
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx
∴f′（x）=3x²+b
∵切点为P（x，y），其中y=f（x），
则切线l的方程为：y=（3x²+b）（x-x）+y
由
得x³+bx=（3x²+b）（x-x）+y
又y=f（x）=x³+bx
∴x³-x³+b（x-x）-（3x²+b）（x-x）=0
∴（x-x）（x²+xx-2x²）=0
∴（x-x）²（x+2x）=0
∴x=x或x=-2x，由题意知，x≠0
从而x₁=-2x
∵
∴x₁=λx
∴λ=-2
点评：此题考查学生利用导数求闭区间上函数的最值能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力．