Question

12．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-19（n∈N^•），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求S_n的最小值及相应的n的最大值；
（2）若T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）推导出{a_n}是首项为-16，公差为3的等差数列，由此求出S_n，利用配方法能求出S_n的最小值及相应的n的最大值．
（2）由a_n=3n-19≥0，得n$≥\frac{19}{3}$，n≤6时，T_n=-S_n；n≥7时，T_n=S_n-2S₆，由此能求出T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-19（n∈N^•），S_n为数列{a_n}的前n项和，
∴a₁=3-19=-16，a_n-a_n-1=（3n-19）-[3（n-1）-19]=3，
∴{a_n}是首项为-16，公差为3的等差数列，
∴${S}_{n}=-16n+\frac{n（n-1）}{2}×3$=$\frac{3}{2}$（n²-$\frac{35}{3}$n）=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{35}{4}$）²-$\frac{3675}{32}$，
∴当n=9时，S_n取最小值-114.75．
∴S_n的最小值为-114.75，相应的n的最大值为9．
（2）由a_n=3n-19≥0，得n$≥\frac{19}{3}$，a₆=18-19=-1，a₇=21-19=2，
∵T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，
∴n≤6时，T_n=-S_n=$\frac{35}{2}n$-$\frac{3}{2}{n}^{2}$．
n≥7时，T_n=S_n-2S₆=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{35}{2}n$+102．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{35n}{2}-\frac{3}{2}{n}^{2}，n≤6}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{35}{2}n+102，n≥7}\end{array}\right.$．

点评 本题考查S_n的最小值及相应的n的最大值的求法，考查数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．