Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A（1，

3

2

）到焦点F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（1，

1

4

）的直线与椭圆交于两点D、E，若|DP|=|PE|，求直线DE的方程；
（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大值，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程，利用椭圆上的点A（1，

3

2

）到焦点F₁，F₂两点的距离之和等于4，建立方程组，即可求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）由题意P为线段DE的中点，且直线不与x轴垂直，利用点差法，即可求直线DE的方程；
（3）分类讨论，确定△OMN面积，利用△OMN面积取得最大值，即可求直线MN的方程．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆上的点A（1，

3

2

）到焦点F₁，F₂两点的距离之和等于4
∴

2a=4 1 a2 + 3 4 b2 =1

∴a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1，焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）；
（2）由题意P为线段DE的中点，且直线不与x轴垂直
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），代入椭圆方程可得

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
两方程相减可得

2(x1-x2)

4

+

y1-y2

2

=0
∴斜率k=-1，∴直线DE的方程为4x+4y-5=0；
（3）当直线MN与x轴垂直时，方程为x=1，S_△OMN=

3

2

；
当直线MN不与x轴垂直时，设方程为y=k（x-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直线代入椭圆方程，消去x可得（4k²+1）y²+2ky-3k²=0
∴y₃+y₄=-

2k

4k2+1

，y₃y₄=

-3k2

4k2+1

∴S_△OMN=

1

2

|y₃-y₄|=2

1 1+3k2 k2 + 1 1+3k2 k2 +2

设

1+3k2

k2

=t（t＞3），g（t）=t+

1

t

+2
∴g′（t）=1-

1

t2

＞0，∴g（t）＞

16

3

，∴S_△OMN＜

3

2

综上，直线MN的方程为x=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．