Question

如图，已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求λ₁＋λ₂的值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由得： 　　(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x． 　　(2)设直线AB的方程为：x＝my＋1(m≠0)． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(－1，)． 　　联立方程组消去x得：y2－4my－4＝0， 　　△＝(－4m)2＋12＞0，故 　　由得：，整理得： 　　 　　解法二：(1)由得：， 　　∴∴ 　　所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2＝4x． 　　(2)由已知，，得λ1·λ2＜0， 　　则： 　　过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，则有： 　　 　　由①②得：，即λ1＋λ2＝0．