Question

17．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；
（1）f（x）=6x²-x一2，x∈[0，2]；
（2）f（x）=x³-27x，x∈[-4，4]；
（3）f（x）=6+12x-x³，x∈[-$\frac{1}{3}$，3]；
（4）f（x）=3x-x³．，x∈[2，3]．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，讨论与区间的关系，可得最值；
（2）求出函数的导数，求出极值和端点处的函数值，可得最值；
（3）求出导数，求得极值和端点的函数值，可得最值；
（4）求出导数，求得区间[2，3]为递减，即可得到所求最值．

解答 解：（1）f（x）=6x²-x一2，对称轴为x=$\frac{1}{12}$，
可得f（x）的最小值为f（$\frac{1}{12}$）=6×$\frac{1}{144}$-$\frac{1}{12}$-2=-$\frac{49}{24}$，
f（0）=-2，f（2）=24-2-2=20，
即f（x）的最大值为20；
（2）f（x）=x³-27x的导数为f′（x）=3x²-27，
f′（x）=0，可得x=±3，
f（-3）=-27+81=64，f（3）=27-81=-64，
f（4）=64-108=-44，f（-4）=-64+108=44，
即有f（x）的最大值为64，最小值为-64；
（3）f（x）=6+12x-x³的导数为f′（x）=12-3x²，
由f′（x）=0，可得x=2（-2舍去），
f（2）=6+24-8=22，f（3）=6+36-27=15，f（$\frac{1}{3}$）=6+4-$\frac{1}{27}$=$\frac{269}{27}$，
即有f（x）的最大值为22，最小值为$\frac{269}{27}$；
（4）f（x）=3x-x³的导数为f′（x）=3-3x²，
由x∈[2，3]，可得f′（x）＜0，
则f（x）在[2，3]递减，
即有f（x）的最大值为f（2）=-2，最小值为f（3）=-18．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的导数和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．