Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求证数列{a_n}不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知结合递推式求出a₂=2，a₃=2，由$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}≠\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$说明数列{a_n}不是等比数列；再由a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$，说明a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…，及a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成等比数列，公比为2，由此求得数列的通项公式；
（2）分n为偶数和奇数分别利用等比数列的前n项和求得答案．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*），∴a₂=2，a₃=2，
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}≠\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，
∴数列{a_n}不是等比数列；
∵a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*），则${a}_{n+1}{a}_{n+2}={2}^{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$，
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…，及a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成等比数列，公比为2，
∵a₁=1，a₂=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）解：S_n=a₁+a₂+…+a_n，
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=$\frac{1-{2}^{\frac{n}{2}}}{1-2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$=$3（{2}^{\frac{n}{2}}-1）$；
当n为奇数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）=$\frac{1-{2}^{\frac{n+1}{2}}}{1-2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-2}$=$2×{2}^{\frac{n+1}{2}}-3$．
因此，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2×{2}^{\frac{n+1}{2}}-3，n为奇数}\\{3（{2}^{\frac{n}{2}}-1），n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了分类求取数列的通项公式的方法，是中档题．