已知定义在实数集上的函数,
,其导函数记为
,
(1)设函数,求
的极大值与极小值;
(2)试求关于的方程
在区间
上的实数根的个数。
(1)当时,
极大=
;当
时,
极小=0.;当
时,
极大=
;无极小值
(2)对于任意给定的正整数,方程只有唯一实根,且总在区间
内,所以原方程在区间
上有唯一实根
【解析】
试题分析:解:(1)令,则
,…3分
令,得
,且
,
当为正偶数时,随
的变化,
与
的变化如下:
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0 |
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0 |
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极大值 |
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极小值 |
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所以当时,
极大=
;当
时,
极小=0. 4分
当为正奇数时,随
的变化,
与
的变化如下:
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0 |
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0 |
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极大值 |
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所以当时,
极大=
;无极小值. 8分
(2),即
,
所以方程为, 9分
, 10分
又,由二项式定理知:
故对于,有
,
13分
综上,对于任意给定的正整数,方程只有唯一实根,且总在区间
内,所以原方程在区间
上有唯一实根. 14分
考点:函数与方程,导数
点评:主要是考查了函数的图像与方程根的问题的求解,利用导数来判定单调性和极值,得到,属于基础题。
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f2(x2)-f2(x1) | x2-x1 |
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π |
3 |
1 |
4 |
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