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已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值=
31
27
,试求y=f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1]时,设f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若a∈[
3
2
3
]且a为常数,求θ的取值范围.
分析:(1)先求导函数,确定函数的单调性,再利用f(x)极小值=1,f(x)极大值=
31
27
,建立方程,从而可求y=f(x)的解析式;
(2)先求导函数,根据a∈[
3
2
3
],可确定斜率的范围,从而可确定倾斜角θ的取值范围.
解答:解:(1)由f′(x)=-3x2+2ax(a>0),
令f′(x)=0,得x=0或x=
2
3
a.…(1分)
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,
2
3
a)
2
3
a
2
3
a,+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) b f(
2
3
a)
∴当x=0时,f(x)极小值=f(0)=b=1,当x=
2
3
a时,f(x)极大值=-
8
27
a3+
4
9
a3+1
=
31
27
,…(4分)
解得b=1,a=1.
∴f(x)=-x3+x2+1.…(6分)
(2)tanθ=f′(x)=-3x2+2ax=-3(x-
a
3
)
2
+
a2
3
,…(7分)
∵a∈[
3
2
3
],
1
2
a
3
3
3

∵x∈[0,1],
∴f′(0)≤f′(x)≤f′(
a
3
).…(10分)
∴0≤f′(x)≤
a2
3
,即0≤tanθ≤
a2
3

∵0≤θ≤π,∴θ∈[0,arctan
a2
3
],
∴θ的取值范围是[0,arctan
a2
3
].…(12分)
点评:本题主要考查了导数的运用,考查函数的极值,导数的几何意义,解题的关键是明确导数的几何意义.
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(1)求函数f(x)的最小正周期;
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π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

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1
x

(2)若f′(2)=1,记函数g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是
 

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