Question

已知函数f（x）=ax²+bx-1满足以下两个条件：
①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；
②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设F（x）=f（-x）-kf（x），若F（x）在[-2，2]上是减函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可知：函数f（x）有最小值-2=

-4a-b2

4a

，a＞0；其函数图象关于直线x=-1对称，即-1=-

b

2a

，解出即可；
（2）利用导数对k分类讨论即可求出．

解答：解：（1）由函数f（x）=ax²+bx-1满足以下两个条件：
①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
所以可知：函数f（x）有最小值-2=

-4a-b2

4a

，a＞0；其函数图象关于直线x=-1对称，即-1=-

b

2a

，
联立

-2= -4a-b2 4a a＞0 -1=- b 2a

，解得

a=1 b=2

∴f（x）=x²+2x-1．
（2）解：由（1）可知：F（x）=（1-k）x²-2（1+k）x+k-1．
当k=1时，F（x）=-4x在[-2，2]上是减函数，故k=1满足条件．
当k≠1时，F^′（x）=2（1-k）x-2（1+k）=2(1-k)(x-

1+k

1-k

)
当满足

k＞1 -2≥ 1+k 1-k

时，即1＜x≤3时，F（x）在[-2，2]上单调递减；
当满足

k＜1 2≤ 1+k 1-k

时，即

1

3

≤k＜1时，F（x）在[-2，2]上单调递减；
综上可知：实数k的取值范围是

1

3

≤k≤3．

点评：充分利用二次函数的单调性、对称性和导数解决函数的单调性是解题的关键．