Question

已知抛物线C：y=－x²+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。

Answer 1

抛物线y=－x²+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤

解析:

①必要性：

由已知得，线段AB的方程为y=－x+3(0≤x≤3)

由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，

所以方程组^*有两个不同的实数解。

消元得：x²－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

设f(x)=x²－(m+1)x+4,则有

　　

②充分性：

当3＜x≤时，

x₁=>0

∴方程x²－(m+1)x+4=0有两个不等的实根x₁,x₂,且0＜x₁＜x₂≤3,方程组*有两组不同的实数解。

因此，抛物线y=－x²+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤。