Question

1．已知函数y=f（x）既是二次函数又是幂函数，函数y=g（x）的图象与函数y=e^x的图象关于直线函数y=x对称．若直线x=$\sqrt{2}$t（t∈R）与函数y=f（x）的图象和函数y=g（x）的图象的交点分别为P，Q，则当|PQ|达到最小时，t的值为 （　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件求出f（x）和g（x）的解析式，求出|PQ|的表达式，构造函数，求函数的导数，研究函数单调性和最值即可得到结论．

解答 解：∵y=f（x）既是二次函数又是幂函数，
∴f（x）=x²，
∵函数y=g（x）的图象与函数y=e^x的图象关于直线函数y=x对称，
∴g（x）=lnx，
则|PQ|=（$\sqrt{2}$t）²-ln$\sqrt{2}$t=2t²-ln$\sqrt{2}$-lnt，
设h（t）=2t²-ln$\sqrt{2}$-lnt，t＞0，
则h′（t）=4t-$\frac{1}{t}=\frac{4{t}^{2}-1}{t}$，
由h′（t）＞0得t$＞\frac{1}{2}$，此时函数单调递增，
由h′（t）＜0得0＜t＜$\frac{1}{2}$，此时函数单调递减，
即当t=$\frac{1}{2}$时，函数h（t）取得极小值同时也是最小值，
即t=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数最值的求解和应用，求出函数的解析式，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．