Question

已知函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又f(

3

)=2-

3

，g（1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）依题意函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称得：f（x）与g（x）互为反函数，利用反函数图象间的对称性列出关于a，b方程求出它们的值，最后利用f（x）在[0，+∞）上是减函数即可求得f（x）的值域；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的减函数，g（x）是（0，1]上的减函数，欲使得复合命题p且q为真命题，必须p且q都为真命题，据此列出不等关系，解之，如果不出现矛盾则存在，否则不存在．

解答：解：（Ⅰ）依题意f（x）与g（x）互为反函数，
由g（1）=0得f（0）=1∴

f(0)=b=1 f( 3 )=a 3 +2b=2- 3

，
得

a=-1 b=1

∴f(x)=-x+

1+x2

=

1

1+x2 +x

（3分）
故f（x）在[0，+∞）上是减函数∴0＜f(x)=

1

1+x2 +x

≤f(0)=1
即f（x）的值域为（0，1]．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的减函数，g（x）是（0，1]上的减函数，
又f(

3

4

)=

1

2

∴g(

1

2

)=

3

4

∴g(

m-1

4

)＞g(

1

2

)（9分）
故

m2-m＞3m-4≥0 0＜ m-1 4 ＜ 1 2 ≤1

解得

4

3

≤m＜3且m≠2
因此，存在实数m，使得命题p且q为真命题，且m的取值范围为：

4

3

≤m＜3且m≠2．（12分）

点评：本题主要考查了反函数、复合命题的真假函数的值域及存在性问题．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．